Безынерционные катушки. Продолжение банкета

Игорь Плиев (aka Арчилыч)

Безынерционные катушки. Продолжение банкета

Продолжение  написано после дебатов в блоге  «По вопросу теста катушек на тяговитость». Вадим (аkа Vadkh) категорически настаивал на основной роли радиуса вращения ротора катушки при оценке ее  тяговитости.

Рассмотрим, так ли есть на самом деле. На рисунке 1 изображены силы и моменты, действующие на безынерционную катушку на виде спереди:

Мрот - момент, действующий на роторе катушки при вращении рукоятки, г см;

N'к - тянущее усилие, создаваемое ротором, г;

N'кх - составляющая тянущего усилия, действующая по оси х, г;

N'ку - составляющая тянущего усилия, действующая по оси у, г;

Nк- тянущее усилие, действующее на кормушку, г;

Рисунок 1 - Силы и моменты, действующие на безынерционную катушку. Вид спереди

Кроме того, катушку характеризует радиус шпули r_ш,  радиус ротора r_рот  и угол α - угол между тянущим усилием, создаваемым ротором N'к, и его составляющей, действующей по оси х.

Леска, на которой создается тянущее усилие со стороны ротора N'к, на рисунке располагается с другой стороны ролика. Тянущее усилие, действующее на кормушку Nк, направлено от нас и превращается на рисунке в точку.

На рисунке не показано усилие Nр (г), действующее на рукоятку катушки, и радиус вращения рукоятки r_р (см). Крутящий момент, действующий на роторе при вращении рукоятки катушки, равен:

Мрот = Nр · r_р· η_{вн. мех} / i_к, где:                                                                  1)

η _{вн. мех} -  КПД внутренних механизмов катушки;

i_к - передаточное число катушки.

Крутящий момент на роторе уравновешивается крутящим моментом, образующимся при создании тянущего усилия  N'к. Если посмотреть на рисунок 1, то видно, что усилие Nк крутящий момент не создает, составляющая N'кх крутящий момент не создает. Крутящий момент создает только составляющая N'ку. Обозначим уравновешивающий крутящий момент Мур, при этом  Мур = Мрот:

Мур = N'ку · r_рот = N'к · sin α · r_рот                                                            2)

Но sin α можно определить из выражения:

sin α = r_ш / r_рот

Тогда, сократив  на r_рот, получим:

Мур = N'к · r_ш                                                                                                                                                 (3)

Ротор, создавая усилие N'к, вынужден вытягивать леску через ролик, который имеет определенный КПД, поэтому можно записать:

N'к · η_рол = Nк

Мур = Nк · r_ш / η_рол ,  где                                                                             4) 

η_рол - КПД ролика.                                                                                                          

Приравняв крутящий момент на роторе и уравновешивающий крутящий момент, а также зная, что r_ш = d_ш /2,  получим:

Nр · r_р · η _{вн. мех} / i_к = 1/2 Nк · d_ш / η_рол                                                          5)

Решим уравнение (5) относительно усилия на рукоятке Nр:

Nр = 1/2 Nк · d_ш · i_к / (r_р · η_рол · η_{вн. мех} ),                                                      6)

где:

η_кат = η_рол · η_{вн. мех} - КПД катушки.

А теперь предлагается сравнить получившуюся формулу с формулой (6) из  блога  «По вопросу теста катушек на тяговитость». Мы видим абсолютную идентичность, несмотря на то, что в предыдущем блоге расчет производился, исходя из закона сохранения энергии, а в данном случае - исходя из равенства моментов на роторе. Это говорит о единстве основных положений теоретической механики при  правильном составлении уравнений.

Выводы:

Усилие на рукоятке катушки Nр зависит от диаметра шпули d_ш и передаточного числа катушки i_к - чем эти значения больше при одинаковых остальных параметрах, тем большее усилие нужно приложить к рукоятке катушки. Скорость выматывания кормушки при этом растет. Усилие на рукоятке катушки Nр зависит также от радиуса вращения (плеча) рукоятки r_р и КПД катушки - чем эти значения больше при одинаковых остальных параметрах, тем меньшее усилие нужно приложить к рукоятке катушки.

Размеры ротора на тяговитость катушки не влияют.